گفتگوی جدید

کاربر

ریاضی‌و‌آمار‌دهم‌توضیحات‌درس‌۱‌و‌نمونه‌سوال

دستیار

درس اول از فصل اول ریاضی و آمار دهم انسانی، به موضوع **«معادله درجه دوم و روش‌های حل آن»** اختصاص دارد. در ادامه، نکات کلیدی درس به همراه نمونه سؤال و پاسخ تشریحی را مرور می‌کنیم.

---

### ۱. مفاهیم و فرمول‌های کلیدی درس اول

#### تعریف معادله درجه دوم:
معادله‌ای به فرم کلی:
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
که در آن $a$، $b$ و $c$ اعداد حقیقی هستند و $x$ مجهول معادله است.

---

#### روش‌های حل معادله درجه دوم:

1. **روش تجزیه (فاکتورگیری / اتحادها):**
   * اگر معادله به‌راحتی تجزیه شود، عبارت جبری را به حاصل‌ضرب دو پرانتز تبدیل کرده و هر پرانتز را مساوی صفر قرار می‌دهیم.
   * مثال: $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x=2, x=3$

2. **روش ریشه‌گیری (جذر گرفتن):**
   * مناسب برای معادلاتی که در آن‌ها $b = 0$ است یا به فرم $(x - k)^2 = d$ هستند.
   * مثال: $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

3. **روش مربع کامل کردن:**
   * عدد ثابت را به سمت دیگر می‌بریم.
   * در صورت وجود ضریب پشت $x^2$، تمام جملات را بر $a$ تقسیم می‌کنیم.
   * عدد $(\frac{b}{2})^2$ را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم تا سمت چپ مربع کامل شود.

4. **روش فرمول کلی (دلتا - $\Delta$):**
   * ابتدا مقدار دلتا را محاسبه می‌کنیم:
     $$\Delta = b^2 - 4ac$$
   * **بررسی وضعیت ریشه‌ها:**
     * اگر $\Delta > 0$ باشد: معادله **دو ریشه متمایز** دارد:
       $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
     * اگر $\Delta = 0$ باشد: معادله **یک ریشه مضاعف** دارد:
       $$x = \frac{-b}{2a}$$
     * اگر $\Delta < 0$ باشد: معادله در اعداد حقیقی **هیچ ریشه‌ای ندارد**.

---

### ۲. نمونه سؤالات امتحانی به همراه پاسخ تشریحی

#### **سؤال ۱ (روش ریشه‌گیری):**
معادله زیر را به روش ریشه‌گیری حل کنید:
$$3x^2 - 27 = 0$$

*پاسخ:*
$$3x^2 = 27 \implies x^2 = \frac{27}{3} = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x = 3 \quad \text{یا} \quad x = -3$$

---

#### **سؤال ۲ (روش تجزیه):**
معادله زیر را با استفاده از تجزیه حل کنید:
$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

*پاسخ:*
دو عدد می‌خواهیم که ضربشان $12$ و جمعشان $-7$ باشد؛ این دو عدد $-3$ و $-4$ هستند:
$$(x - 3)(x - 4) = 0$$
$$x - 3 = 0 \implies x = 3$$
$$x - 4 = 0 \implies x = 4$$

---

#### **سؤال ۳ (روش مربع کامل کردن):**
معادله $x^2 - 6x + 5 = 0$ را به روش مربع کامل حل کنید.

*پاسخ:*
1. عدد ثابت را به سمت راست منتقل می‌کنیم:
   $$x^2 - 6x = -5$$
2. نصف ضریب $x$ برابر $-3$ است و مربع آن $(-3)^2 = 9$ است. عدد ۹ را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم:
   $$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$$
   $$(x - 3)^2 = 4$$
3. اکنون جذر می‌گیریم:
   $$x - 3 = \pm 2$$
   * حالت اول: $x - 3 = 2 \implies x = 5$
   * حالت دوم: $x - 3 = -2 \implies x = 1$

---

#### **سؤال ۴ (روش فرمول کلی - دلتا):**
معادله زیر را با استفاده از فرمول کلی ($\Delta$) حل کنید:
$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

*پاسخ:*
ضرایب معادله عبارتند از: $a = 2, \, b = -5, \, c = 2$

1. محاسبه $\Delta$:
   $$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$$
2. چون $\Delta > 0$ است، معادله دو ریشه دارد:
   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 \pm 3}{4}$$
   * ریشه اول: $x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
   * ریشه دوم: $x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

---

#### **سؤال ۵ (مفهوم تعداد ریشه‌ها):**
به ازای چه مقادیری از $m$، معادله $x^2 - 4x + m = 0$ دارای **ریشه مضاعف** است؟

*پاسخ:*
برای داشتن ریشه مضاعف، باید $\Delta = 0$ باشد.
$$a = 1, \, b = -4, \, c = m$$
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(m) = 16 - 4m$$
$$16 - 4m = 0 \implies 4m = 16 \implies m = 4$$

---

اگر روی بخش خاصی از این درس یا مسائل کاربردی آن (مثل مسئله‌های هندسی یا سود و زیان) ابهامی داری، بگو تا با مثال‌های بیشتر توضیح دهم.

گفتگوهای عمومی بیشتر

متن عمومی گفتگو

گفتگوی جدید

کاربر

ریاضی‌و‌آمار‌دهم‌توضیحات‌درس‌۱‌و‌نمونه‌سوال

دستیار

درس اول از فصل اول ریاضی و آمار دهم انسانی، به موضوع **«معادله درجه دوم و روش‌های حل آن»** اختصاص دارد. در ادامه، نکات کلیدی درس به همراه نمونه سؤال و پاسخ تشریحی را مرور می‌کنیم.

---

### ۱. مفاهیم و فرمول‌های کلیدی درس اول

#### تعریف معادله درجه دوم:
معادله‌ای به فرم کلی:
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
که در آن $a$، $b$ و $c$ اعداد حقیقی هستند و $x$ مجهول معادله است.

---

#### روش‌های حل معادله درجه دوم:

1. **روش تجزیه (فاکتورگیری / اتحادها):**
   * اگر معادله به‌راحتی تجزیه شود، عبارت جبری را به حاصل‌ضرب دو پرانتز تبدیل کرده و هر پرانتز را مساوی صفر قرار می‌دهیم.
   * مثال: $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x=2, x=3$

2. **روش ریشه‌گیری (جذر گرفتن):**
   * مناسب برای معادلاتی که در آن‌ها $b = 0$ است یا به فرم $(x - k)^2 = d$ هستند.
   * مثال: $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

3. **روش مربع کامل کردن:**
   * عدد ثابت را به سمت دیگر می‌بریم.
   * در صورت وجود ضریب پشت $x^2$، تمام جملات را بر $a$ تقسیم می‌کنیم.
   * عدد $(\frac{b}{2})^2$ را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم تا سمت چپ مربع کامل شود.

4. **روش فرمول کلی (دلتا - $\Delta$):**
   * ابتدا مقدار دلتا را محاسبه می‌کنیم:
     $$\Delta = b^2 - 4ac$$
   * **بررسی وضعیت ریشه‌ها:**
     * اگر $\Delta > 0$ باشد: معادله **دو ریشه متمایز** دارد:
       $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
     * اگر $\Delta = 0$ باشد: معادله **یک ریشه مضاعف** دارد:
       $$x = \frac{-b}{2a}$$
     * اگر $\Delta < 0$ باشد: معادله در اعداد حقیقی **هیچ ریشه‌ای ندارد**.

---

### ۲. نمونه سؤالات امتحانی به همراه پاسخ تشریحی

#### **سؤال ۱ (روش ریشه‌گیری):**
معادله زیر را به روش ریشه‌گیری حل کنید:
$$3x^2 - 27 = 0$$

*پاسخ:*
$$3x^2 = 27 \implies x^2 = \frac{27}{3} = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x = 3 \quad \text{یا} \quad x = -3$$

---

#### **سؤال ۲ (روش تجزیه):**
معادله زیر را با استفاده از تجزیه حل کنید:
$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

*پاسخ:*
دو عدد می‌خواهیم که ضربشان $12$ و جمعشان $-7$ باشد؛ این دو عدد $-3$ و $-4$ هستند:
$$(x - 3)(x - 4) = 0$$
$$x - 3 = 0 \implies x = 3$$
$$x - 4 = 0 \implies x = 4$$

---

#### **سؤال ۳ (روش مربع کامل کردن):**
معادله $x^2 - 6x + 5 = 0$ را به روش مربع کامل حل کنید.

*پاسخ:*
1. عدد ثابت را به سمت راست منتقل می‌کنیم:
   $$x^2 - 6x = -5$$
2. نصف ضریب $x$ برابر $-3$ است و مربع آن $(-3)^2 = 9$ است. عدد ۹ را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم:
   $$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$$
   $$(x - 3)^2 = 4$$
3. اکنون جذر می‌گیریم:
   $$x - 3 = \pm 2$$
   * حالت اول: $x - 3 = 2 \implies x = 5$
   * حالت دوم: $x - 3 = -2 \implies x = 1$

---

#### **سؤال ۴ (روش فرمول کلی - دلتا):**
معادله زیر را با استفاده از فرمول کلی ($\Delta$) حل کنید:
$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

*پاسخ:*
ضرایب معادله عبارتند از: $a = 2, \, b = -5, \, c = 2$

1. محاسبه $\Delta$:
   $$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$$
2. چون $\Delta > 0$ است، معادله دو ریشه دارد:
   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 \pm 3}{4}$$
   * ریشه اول: $x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
   * ریشه دوم: $x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

---

#### **سؤال ۵ (مفهوم تعداد ریشه‌ها):**
به ازای چه مقادیری از $m$، معادله $x^2 - 4x + m = 0$ دارای **ریشه مضاعف** است؟

*پاسخ:*
برای داشتن ریشه مضاعف، باید $\Delta = 0$ باشد.
$$a = 1, \, b = -4, \, c = m$$
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(m) = 16 - 4m$$
$$16 - 4m = 0 \implies 4m = 16 \implies m = 4$$

---

اگر روی بخش خاصی از این درس یا مسائل کاربردی آن (مثل مسئله‌های هندسی یا سود و زیان) ابهامی داری، بگو تا با مثال‌های بیشتر توضیح دهم.

گفتگوهای عمومی بیشتر