گفتگوی جدید

ریاضی‌دهم‌انسانی‌تمام‌توضیحات‌درس‌۱‌و‌نمونه‌سوال

درس اول از فصل اول ریاضی و آمار (۱) پایه دهم انسانی با عنوان **«معادلات درجه دوم»** شناخته می‌شود. در ادامه، توضیحات کامل مفاهیم این درس همراه با روش‌های حل و چند نمونه‌سؤال کاربردی برای شما آماده شده است: --- ### بخش اول: توضیحات و مفاهیم درس ۱ #### ۱. معادله درجه دوم چیست؟ هر معادله‌ای که بتوان آن را پس از ساده‌کردن به فرم کلی زیر نوشت، یک **معادله درجه دوم** (برحسب مجهول $x$) نامیده می‌شود: $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$ - $a$: ضریب $x^2$ (نباید صفر باشد). - $b$: ضریب $x$. - $c$: عدد ثابت. --- #### ۲. روش‌های حل معادله درجه دوم در کتاب دهم انسانی، عمدتاً از سه روش برای حل استفاده می‌شود: 1. **روش فاکتورگیری و تجزیه (اتحادها):** - اگر $c = 0$ باشد: از $x$ فاکتور می‌گیریم: $$ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0 \implies x = 0 \text{ یا } x = -\frac{b}{a}$$ - با استفاده از اتحاد جمله مشترک: $$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) = 0 \implies x = -p \text{ یا } x = -q$$ 2. **روش ریشه‌گیری (جذر گرفتن):** - اگر $b = 0$ باشد، معادله به صورت $ax^2 + c = 0$ درمی‌آید: $$x^2 = -\frac{c}{a} \implies x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$ - شرط وجود جواب حقیقی این است که طرف دوم نامنفی باشد. 3. **روش فرمول کلی (دلتا $\Delta$):** - فرمول دلتا: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ - بررسی تعداد ریشه‌ها: - اگر $\Delta > 0$: معادله **دو ریشه متمایز** دارد: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ - اگر $\Delta = 0$: معادله **یک ریشه مضاعف** دارد: $$x = \frac{-b}{2a}$$ - اگر $\Delta < 0$: معادله **هیچ ریشه حقیقی ندارد**. --- ### بخش دوم: نمونه‌سوالات امتحانی به همراه پاسخ تشریحی #### سؤال ۱ (ریشه‌گیری) معادله $2x^2 - 18 = 0$ را حل کنید. **پاسخ:** $$2x^2 = 18 \implies x^2 = \frac{18}{2} = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = 3 \quad \text{یا} \quad x = -3$$ --- #### سؤال ۲ (تجزیه / فاکتورگیری) معادله $x^2 - 5x = 0$ را حل کنید. **پاسخ:** از $x$ فاکتور می‌گیریم: $$x(x - 5) = 0 \implies x = 0 \quad \text{یا} \quad x - 5 = 0 \implies x = 5$$ --- #### سؤال ۳ (اتحاد جمله مشترک) معادله $x^2 - 7x + 12 = 0$ را به روش تجزیه حل کنید. **پاسخ:** دو عدد می‌خواهیم که جمع آن‌ها $-7$ و ضرب آن‌ها $+12$ شود (آن دو عدد $-3$ و $-4$ هستند): $$(x - 3)(x - 4) = 0$$ $$\implies x - 3 = 0 \implies x = 3$$ $$\implies x - 4 = 0 \implies x = 4$$ --- #### سؤال ۴ (روش دلتا $\Delta$) معادله $x^2 - 4x + 3 = 0$ را با فرمول کلی حل کنید. **پاسخ:** - ضرایب: $a = 1$ ، $b = -4$ ، $c = 3$ - محاسبه دلتا: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$$ - چون $\Delta > 0$ است، دو ریشه دارد: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ --- #### سؤال ۵ (تعداد ریشه‌ها بدون حل کامل) تعداد ریشه‌های معادله $3x^2 + 2x + 5 = 0$ را مشخص کنید. **پاسخ:** ضرایب: $a = 3$ ، $b = 2$ ، $c = 5$ $$\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(5) = 4 - 60 = -56$$ چون $\Delta < 0$ است، معادله **فاقد ریشه حقیقی** است. --- اگر تمایل دارید روی مبحث خاصی (مثل حل به روش مربع کامل یا حل مسائل کلامی و کاربردی) تمرین بیشتری حل کنیم، بفرمایید!