گفتگوی جدید

۱_۳_۹_۲۲این الگوهارا ادامه بده ورابته انها رابنویس

برای این الگو (۱، ۳، ۹، ۲۲)، اگر به اختلاف بین جملات دقت کنیم: * اختلاف اول: $۳ - ۱ = ۲$ * اختلاف دوم: $۹ - ۳ = ۶$ * اختلاف سوم: $۲۲ - ۹ = ۱۳$ دنبالهٔ اختلافات به‌صورت **۲، ۶، ۱۳** است. حالا اختلاف بین خود این اعداد (اختلاف مرتبه دوم) را بررسی می‌کنیم: * $۶ - ۲ = ۴$ * $۱۳ - ۶ = ۷$ اختلاف‌های مرحله دوم یعنی **۴، ۷** با گام **+۳** جلو می‌روند: * اختلاف بعدی مرحله دوم: $۷ + ۳ = ۱۰$ * پس اختلاف بعدی در مرحله اول: $۱۳ + ۱۰ = ۲۳$ * عدد بعدی الگو: $۲۲ + ۲۳ = \mathbf{۴۵}$ برای پیدا کردن جمله بعد از آن: * اختلاف بعدی مرحله دوم: $۱۰ + ۳ = ۱۳$ * اختلاف بعدی مرحله اول: $۲۳ + ۱۳ = ۳۶$ * عدد بعدی: $۴۵ + ۳۶ = \mathbf{۸۱}$ --- ### رابطه (فرمول جمله عمومی $a_n$): با توجه به اینکه اختلاف‌های مرحله دوم با گام ثابت (۳) تغییر می‌کنند، این یک دنباله درجه ۳ است. رابطه بازگشتی و رابطه جبری آن به شکل زیر است: * **رابطه بازگشتی:** $$d_1 = 2$$ $$d_n = d_{n-1} + (3n - 5) \quad (\text{برای } n \ge 2)$$ $$a_n = a_{n-1} + d_{n-1}$$ * **فرمول مستقیم برحسب شماره جمله ($n$):** $$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 8n - 4}{2}$$ (بررسی: برای $n=1 \to 1$، برای $n=2 \to 3$، برای $n=3 \to 9$، برای $n=4 \to 22$) --- ### ادامه الگو: **۱، ۳، ۹، ۲۲، ۴۵، ۸۱، ۱۳۲، ...**